Números Abundantes
Números cuya suma de divisores propios supera al número mismo
Un número abundante es un número natural cuya suma de divisores propios (todos los divisores excepto el número mismo) es mayor que el número. Por ejemplo, 12 es abundante porque sus divisores propios son 1, 2, 3, 4, 6 y su suma (16) es mayor que 12. La «abundancia» de 12 es 16 − 12 = 4.
Clasificación de números por divisores
Según la relación entre un número y la suma de sus divisores propios, los números naturales se clasifican en tres categorías:
Propiedades de los números abundantes
Los números abundantes poseen varias propiedades interesantes que los distinguen en la teoría de números:
La abundancia de un número
La abundancia de un número n se define como A(n) = σ(n) − 2n, donde σ(n) es la suma de todos los divisores de n (incluyendo el propio n). Si A(n) > 0, el número es abundante. También se puede calcular como la suma de divisores propios menos n.
| Número | Divisores propios | Suma | Abundancia |
|---|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6 | 16 | +4 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9 | 21 | +3 |
| 20 | 1, 2, 4, 5, 10 | 22 | +2 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 | 36 | +12 |
| 30 | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 | 42 | +12 |
| 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 | 55 | +19 |
| 40 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 | 50 | +10 |
| 48 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 | 76 | +28 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 | 108 | +48 |
| 70 | 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 | 74 | +4 |
Números superabundantes
Un número n es superabundante si la razón σ(n)/n es mayor que σ(m)/m para todo m < n, donde σ(n) es la suma de todos los divisores de n. En otras palabras, son los números que «baten el récord» en la proporción entre la suma de divisores y el número mismo.
Los primeros números superabundantes son:
Observa que muchos números superabundantes son altamente compuestos (tienen muchos divisores), como 12, 24, 60, 120, 360 o 720. Estos números aparecen frecuentemente en sistemas de medida (12 horas, 60 minutos, 360 grados) precisamente por su gran cantidad de divisores.
Los primeros 80 números abundantes
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Preguntas Frecuentes
¿Qué es un número abundante?
Un número abundante es un número natural cuya suma de divisores propios (todos excepto el propio número) es mayor que el número mismo. Por ejemplo, 12 es abundante porque 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.
¿Cuál es el primer número abundante?
El primer número abundante es el 12. Sus divisores propios (1, 2, 3, 4 y 6) suman 16, que es mayor que 12. La «abundancia» de 12 es 4 (16 − 12 = 4).
¿Cuál es la diferencia entre abundante, perfecto y deficiente?
Depende de la suma de divisores propios respecto al número: si la suma es menor, el número es deficiente (ejemplo: 8); si es igual, es perfecto (ejemplo: 6); si es mayor, es abundante (ejemplo: 12). Aproximadamente el 25% de los naturales son abundantes.