Los números complejos


20/04/2020


Los números complejos son números que constan de dos partes: un número real y un número imaginario. Los números complejos son los componentes básicos de las matemáticas más complejas, como el álgebra. Se pueden aplicar a muchos aspectos de la vida real, especialmente en electrónica y electromagnetismo.

 

El formato estándar para números complejos es a + bi , con el número real primero y el número imaginario al final. Debido a que cualquiera de las partes podría ser 0, técnicamente cualquier número real o imaginario puede considerarse un número complejo. Complejo no significa complicado; significa que los dos tipos de números se combinan para formar un complejo, como un complejo de viviendas: un grupo de edificios unidos.

Los números reales son valores tangibles que se pueden trazar en una recta numérica horizontal, como fracciones, números enteros o cualquier número contable que se te ocurra. Los números imaginarios son conceptos abstractos que se utilizan cuando necesitas la raíz cuadrada de un número negativo.

Sumar y multiplicar números complejos

Debido a que un número complejo es un binomio, una expresión numérica con dos términos, la aritmética generalmente se hace de la misma manera que cualquier binomio, combinando los términos semejantes y simplificando. Por ejemplo:

 

(3 + 2i) + (4 - 4i)

(3 + 4) = 7

(2i - 4i) = -2i

El resultado es 7-2i .

Para la multiplicación, empleas el método FOIL para la multiplicación polinomial: multiplica el Primero, multiplica el Exterior, multiplica el Interior, multiplica el Último y luego suma. Por ejemplo:

(3 - 2i) (5 + 3i) =

(3) (5) + (3) (3i) + (-2i) (5) + (-2i) (3i) =

15 + 9i + -10i + -6i 2 =

15 - yo - 6 (-1) =

21 - yo

 

 

La razón por la que i2 se simplifica a (-1) es porque i es la raíz cuadrada de -1.

 

División de números complejos

La división, sin embargo, se vuelve más complicada y requiere el uso de conjugados. Los conjugados complejos son pares de números complejos que tienen diferentes signos, como (a + bi) y (a - bi) . Multiplicar conjugados complejos hace que el término medio se cancele. Por ejemplo:

(a + bi) (a - bi) = a 2 - abi + abi - (bi) 2

Esto se simplifica a a 2 - b 2 (i 2) = a 2 - b 2 (-1)

El resultado final es a 2 + b 2

Al dividir números complejos, determine el conjugado del denominador y multiplique el numerador y el denominador por el conjugado. Por ejemplo,

(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)

El conjugado de 7 + 4i es 7 - 4i. Entonces, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado:

(5 + 2i) (7 - 4i) ÷ (7 + 4i) (7 - 4i) =

(35 + 14i - 20i - 8i 2) ÷ (49 - 28i + 28i - 16i 2) =

(35 - 6i + 8) ÷ (49 + 16) =

(43 - 6i) ÷ 65

Valor absoluto de números complejos

El valor absoluto de un número se considera su distancia desde cero en la recta numérica. Debido a que los números complejos incluyen números imaginarios, no se pueden trazar en la recta numérica real. Sin embargo, se pueden medir desde cero en el plano de números complejos, que incluye un eje x (para el número real) y el eje y (para el número imaginario).

Usos de números complejos

Los números complejos se pueden usar para resolver cuadráticas para ceros. La fórmula cuadrática resuelve ax2 + bx + c = 0 para los valores de x. Si la fórmula proporciona un negativo en la raíz cuadrada, se pueden usar números complejos para simplificar el cero.

Los números complejos se utilizan en electrónica y electromagnetismo. Un solo número complejo une dos cantidades reales, lo que facilita el trabajo con los números. Por ejemplo, en electrónica, el estado de un elemento de circuito se define por el voltaje (V) y la corriente (I). Los elementos del circuito también pueden tener una capacitancia (c) e inductancia (L) que describen la tendencia del circuito a resistir cambios en V e I. En lugar de describir el estado del elemento del circuito por V e I, se puede describir como z = V + Ii . Las leyes de la electricidad se pueden expresar mediante la suma y la multiplicación de números complejos.

Como se mencionó anteriormente, esto también se puede aplicar al electromagnetismo. En lugar de describirse como fuerza de campo eléctrico y fuerza de campo magnético, puede crear un número complejo donde los componentes eléctricos y magnéticos sean los números reales e imaginarios.


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