Un número en matemáticas es la palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como cantidades.
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones. Se enumeran a continuación.
Se trata de la noción matemática de fundamental importancia, introducida de manera más o menos consciente desde la antigüedad, con el fin de poder operar sobre cantidades de elementos que constituyen conjuntos o sobre cantidades que expresan medidas de entidades materiales. Muchos conjuntos numéricos se pueden introducir de forma axiomática junto a las operaciones correspondientes, como particulares algebraicas y topológicas. Viceversa, se pueden proceder constructivamente, introduciendo sucesivamente conjuntos numéricos más extensos.
Los números naturales 1, 2, 3,.. se introducen como cardinales o como ordinales, es decir, como entes en condiciones de representar el orden de los conjuntos finitos y las posiciones de las secuencias (axiomas de Peano); el cero se introduce como el orden del conjunto vacío.
El cero y los números naturales constituyen el conjunto de los números no negativos. Los números negativos se introducen como los inversos de los positivos respecto de la suma, y para poder realizar sin restricciones la sustracción.
Los números racionales se introducen para poder efectuar la división sin restricciones. La ampliación a los números algebraicos se realiza para garantizar la existencia de ceros de polinomios con coeficientes enteros.
Los números reales se introducen para poder realizar con restricciones mínimas operaciones de paso al límite.
Por último, el campo real se amplía al de los números complejos para garantizar la existencia de n raíces para cada polinomio de grado n.
- Número de Fermat: Todo número de la forma 22n+1, para cada n=1,2,3, ... Se ha demostrado que no es cierta la primera conjetura de su autor de que estos números fuesen todos primos.
- Número perfecto: número entero y positivo igual a la suma de sus divisores positivos, excluido él mismo. No se sabe si existen números impares perfectos.
- Número poligonal: número natural de la sucesión n0 = 1, n1 .. nr ... en la que nr = nr-1 + (m-2)r +1, donde m es un número natural mayor que dos. Para m = 3,4,5..., se obtienen los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales... El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico formado con triángulos, cuadrados, pentágonos..., respectivamente.
- Número transfinito: número cardinal que no es entero.
- Número trascendente: número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.
- Número triangular: número natural de la sucesión n0 = 1, n1 ... nr ... en la que nr = nr-1 + r +1, . El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico formado con triángulos.
- Números amigos: par de números enteros positivos tales que la suma de los divisores positivos de cada número menores que él es igual al otro número.
- Números pitagóricos: ternas de números enteros positivos tales que el cuadrado de uno de ellos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Si las longitudes de los dos lados de un triángulo son enteros y pitagóricos, el triángulo es rectángulo.
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7 : 4 son números naturales).
Son los naturales y los correspondientes negativos:
Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros no se pueden dividir. Por eso se pasa a la siguiente estructura numérica.
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación , que se puede escribir como
x = 3 × i o x = 3i
Los números bi,b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.
Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario puro.
En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los números reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.
Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.